A29 Iniciación al diseño de los relojes de sol

[Artículo de Jesús de la Calle Montes publicado en la revista Analema número 29, mayo-agosto de 2000, de la AARS]

Iniciación al diseño de los relojes de sol

Introducción

Desde la más remota antigüedad, el hombre se ha sentido fascinado por el Sol, prueba de ello es que todas las civilizaciones de las que se tienen noticia han tenido un personaje o símbolo para representarlo. Ellos intuían que el Sol es una enorme fuente de energía y que la Naturaleza dependía de alguna forma de su presencia.

La sucesión de los días y las noches ha marcado siempre el ritmo de la vida del planeta y ha regulado el trabajo humano como una unidad básica del tiempo. Esto ha llevado al hombre, a interesarse por observar el movimiento del sol como un indicativo del transcurso del día. Aún hoy, si estamos en el campo, cuando deseamos tener una idea de la hora que es, miramos al cielo para ver la posición del Sol. Esa misma idea debió llevar a los pueblos primitivos a imaginar medios para mejorar la observación, creando los primeros relojes de sol.

En estas páginas trataremos el fundamento de los relojes de sol que son más usuales. Son simples y fáciles de construir porque utilizan superficies planas. Intentaremos dar los conceptos básicos que nos hubiera gustado recibir cuando empezamos a interesarnos por los relojes de sol. Por ello suponemos que será útil a los que desean iniciarse en este tema. Seguiremos un proceso de transformación de unos relojes en otros porque así se hace mucho más fácil su comprensión.

Los relojes de sol que vamos a describir están formados por un conjunto de líneas en una superficie plana sobre la que se proyecta la sombra de un estilo [gnomon], indicando así la hora solar y otros datos relativos al movimiento del Sol. Utilizaremos como estilo una varilla porque es una figura muy intuitiva y de fácil dibujo, pero no debemos olvidar que existen muchos tipos.

La primera precisión a hacer es que un reloj de sol indica solamente la hora solar, la cual no coincide con la hora oficial que marcan nuestros relojes de pulsera, aunque como veremos más adelante, tiene una estrecha relación entre sí.

Para el trazado de los relojes utilizaremos solo métodos analíticos en vez de los diseños gráficos que son incómodos y menos seguros de plasmar en papel. No podemos ignorar que hoy día están muy extendidas las calculadoras de bolsillo con funciones trigonométricas que permiten efectuar los cálculos con suma facilidad. Evitaremos también la medida de ángulos, menos exactas que la de las distancias, sobre todo si se usa papel milimetrado como soporte del diseño.

Un poco de historia

Quizás el reloj más antiguo haya sido una estaca clavada en la tierra, que al proyectar su sombra sobre el suelo permitía observar más fácilmente el movimiento de la sombra, en vez de mirar hacia la luz cegadora del Sol.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 1

Con este dispositivo tan elemental pudieron observar que el Sol está muy alto cuando los días son más calurosos y la sombra es más pequeña, mientras que en la época de los días más fríos la sombra es más alargada, intuyendo el calendario.

Esta idea tan simple pudo ser transcendental para deducir el ciclo anual y las estaciones, sobre todo para los pueblos que evolucionaron a la cultura de la agricultura. Esto les permitió deducir las épocas de la siembra y de las labores.

Los egipcios se preocuparon mucho sobre este tema aportando algunos modelos como son los obeliscos que quizás utilizaban como relojes, pero no conocemos cómo eran las marcas en el suelo que daban el significado del movimiento de la sombra.

Iniciación al diseño de relojes de sol figuras 2 y 3

Parece que el reloj más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que apareció en una tumba egipcia de hace unos 3.500 años. Está compuesto por dos listones en forma de T cuya barra mayor se ponía en dirección Este-Oeste para que la sombra de la barra menor se proyectara sobre la otra, que contiene las marcas de las horas. Éstas no tenían el sentido tan preciso que nosotros les damos, no eran horas sino momentos del día, tales como: media mañana, el mediodía, etc. que se ha mantenido hasta la Edad Media.

Desde muy antiguo se conocen referencias a una forma curiosa de indicar la hora por medio de la longitud en pies de nuestra propia sombra, porque hay una relación muy precisa entre la altura de una persona y su pie. En una comedia de Aristófanes se dice: "te espero a comer cuando tu sombra tenga diez veces el largo de tu pie". Esto supone conocer el dato de la fecha porque la sombra es más alargada en invierno que en verano. Por ello en la Edad Media que también se utilizaba este método, existieron tablas que relacionan las horas con el número de pies según los meses del año. Uno de ellos existe en la biblioteca del Monasterio de Silos.

Iniciación al diseño de relojes de sol figuras 4 y 5

Los babilonios ya usaban relojes de sol más elaborados, que fueron conocidos a través de los griegos que los perfeccionaron, como son los "scaphe", fig. 4. Los romanos hicieron después la versión "hemiciclum", fig. 5, semejante al que está en el Museo Arqueológico de Madrid.

Los obeliscos se siguieron utilizando. Uno de ellos estuvo instalado en Roma por Augusto y perduró hasta que los bárbaros lo destruyeron en 1085. Se utilizaba, sobre todo, para conocer la hora del mediodía (hora sexta), que se anunciaba al pueblo con el toque de un clarín para parar de trabajar a la hora de comer.

En la Edad Media aparece un tipo de reloj muy rudimentario dedicado a conocer las horas de los rezos de los monjes, por lo que se les llama "de horas canónicas", fig. 6.

Realmente no marcaban las horas solares, pues solamente tiene unas marcas sin numerar y como estilo era perpendicular a la pared, variaban los tiempos según la estación.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 6

Habrá que esperar hasta el siglo XII para que se recupere el conocimiento de esta técnica y de la Astronomía utilizando las traducciones que hicieron los árabes. En España cabe destacar la labor del rey Alfonso X el Sabio reuniendo en Toledo a sabios de las tres religiones que redactaron los "Libro del saber de Astronomía". Uno de ellos dedicado a los relojes de sol, donde se describe con precisión un reloj horizontal con estilo vertical.

Más tarde comienza a utilizarse un estilo paralelo al eje del mundo que produce una línea horaria independiente del día del año.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 7

Durante el Renacimiento se difunden los relojes por toda Europa. Raramente faltaba en las iglesias, que siempre tenían una pared orientada al Sur porque se construían con el altar mayor hacia el Este. Eran de utilidad para saber las horas de las misa, pero después, las reformas de sus edificios acabaron con casi todos ellos.

En el siglo XIV comienza el desarrollo científico de la Astronomía, que necesita de medidas de gran precisión sobre los movimientos del Sol. Se utilizaba para esto un tipo especial de reloj de sol llamado meridiana. La primera fue construida por el astrónomo P. Toscanelli que aprovechó la cúpula de Santa María de Fiore de Florencia para abrir un orificio a 90 m de altura que dejaba pasar, a la hora del mediodía, un rayo de sol sobre una línea en el suelo. Este dispositivo se utilizó también para determinar las fechas de la liturgia con más precisión que con las tablas astronómicas de la época. En España pueden verse las dos del palacio de [San Lorenzo de] El Escorial.

A partir del siglo XVI aparecen tratados con base matemática para la construcción de relojes de todas clases, no solamente sobre los que ya eran muy conocidos, como los horizontales y verticales, sino de las formas más originales; poliédricos, dípticos, de altura y analemáticos.

En esta época aparecen los relojes mecánicos, que provocarían la decadencia de los relojes solares, pero eran aún tan imperfectos que debían ponerse en hora, casi diariamente, con la ayuda de un reloj de sol como muestra la fig. 8.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 8

Arriba (up)

Cuando los relojes mecánicos fueron más perfectos, se hizo patente que la hora solar tenía adelantos y atrasos debidos al movimiento no-uniforme del Sol en su órbita, que puede llegar a 16 minutos de diferencia con la hora media uniforme que indica un buen reloj mecánico. Como consecuencia de ello se empezó a establecer esta hora media como hora oficial. En Francia se legalizó en 1815 y más tarde en los demás países. Aun así, la hora se seguía rigiendo por el meridiano del lugar, por tanto, cuando en Barcelona eran las 12 del mediodía en Pontevedra eran apenas las 11:15, lo que no suponía ninguna dificultad en aquella época.

El desarrollo de las comunicaciones creó la necesidad de un sistema horario que relacionara a los distintos lugares. Para ello se estableció en 1912 el tiempo universal (TU), asignando el origen de los tiempos al meridiano 0 que pasa por Greenwich y los husos horarios cada 15 grados.

La llegada del ferrocarril fue un suceso transcendente en el cambio de criterio sobre las horas. Como para el horario de los trenes se necesitaban horas comunes para todo el país, el reloj de la estación llevó a todos los pueblos a usar la hora de ese reloj, que era la hora media ya legalizada.

El nuevo patrón horario dejó sin uso a los relojes de sol, utilizándose solamente en el campo, donde no se disponía de relojes mecánicos y el trabajo se regulaba por las horas del Sol.

Sobre el movimiento del Sol

Hablando de relojes de sol se suele suponer, aunque no sea cierto, que la Tierra está fija y es el Sol el que gira a su alrededor, porque éste es el efecto aparente en el transcurso del día, además las explicaciones se hacen más fáciles.

Para comprender el movimiento diurno del Sol en la esfera celeste suponemos que en el centro O de la esfera de la fig. 9 hay un observador que tiene un horizonte circular a su alrededor y que sobre su vertical está el cenit Z. La altura del polo Norte P sobre el horizonte (lo que es igual, a la altura del cénit sobre el ecuador celeste) indica la latitud del lugar, designada por la letra φ.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 6

El Sol en su recorrido diario desde su salida hasta el ocaso, describirá un arco en el cielo que estará por encima del ecuador celeste en los meses de primavera y verano, y por debajo del ecuador, en los meses de otoño e invierno.

Es importante comprender que el Sol se desplaza cada día en un plano que es perpendicular al eje del mundo, por lo que el ángulo h recorrido en un tiempo dado t, será el mismo aunque varíe la fecha del año y esté en otro plano paralelo, correspondiente a otra fecha. Por tanto, un estilo en el eje del mundo proyectará una sombra sobre el suelo que tendrá la misma dirección en cualquier fecha, aunque será distinta su longitud.

Una pareja de valores: declinación δ (altura sobre el ecuador) y ángulo horario h (entre meridianos), definen la posición de un astro en la esfera celeste, tal como el Sol, (t grados = h horas * 15). Este es el sistema de coordenadas ecuatoriales.

Si suponemos un círculo máximo que pase por los polos y por el Sol a una hora dada, éste será un círculo horario, lo que significa que el Sol está en él todo los días a esa hora. En la fig. 9 se ve que el Sol, la varilla y su sombra están en el mismo plano del círculo horario.

De los círculos horarios, el que pasa por la vertical del lugar del observador se llama círculo meridiano, en el cual está el Sol a las 12 horas solares y corta al plano horizontal por la línea meridiana del lugar o dirección N-S.

Para conocer el instante en que el Sol para sobre la línea meridiana del lugar, el procedimiento más sencillo es el denominado círculo indio. Consiste en clavar en un tablero un estilo bien perpendicular y con centro en él, trazar una serie de arcos de círculo, según se aprecia en la fig. 10. Los radios deben ser de 1 a 2 veces la altura del estilo.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 10

Colóquese el tablero bien horizontal, con la ayuda de un nivel, de forma que el lado del estilo esté hacia el Sur. Cuando el extremo de la sombra toque en alguno de los círculos, se hará una marca y cuando vuelva a tocar en el mismo círculo se hará otra. La bisectriz (Z) del arco entre las dos marcar será la dirección de la meridiana del lugar. Este dispositivo nos permitirá saber, otro día, el instante en que el sol para por la meridiana del lugar. Hay otros procedimientos más exactos y cómodos que se describirán más adelante.

Reloj ecuatorial

Este es el reloj más sencillo e intuitivo, tal como se sugiere con la fig. 11, del cual se pueden deducir otros muchos.

Iniciación al diseño de relojes de sol figuras 11 y 12

Consiste básicamente en una varilla paralela al eje del mundo que pasa por el centro de un círculo paralelo al ecuador, según la fig. 12. Si se trazan 24 radios y si uno de ellos está sobre la meridiana, cada radio coincidirá con uno de los 24 círculos horarios del día, y por tanto, a cada hora entera la sombra de la varilla caerá sobre uno de los radios, indicando así la hora.

La única condición es que la varilla sea paralela al eje del mundo, por lo tanto, si se lleva a otro lugar, funcionará perfectamente con solo ajustar el ángulo φ según la latitud de este nuevo lugar.

El inconveniente de este diseño está en que la sombra se proyecta sobre la cara superior durante los meses de primavera y verano en los que el Sol está por encima del ecuador (declinación positiva) y sobre la cara inferior en los meses de otoño e invierno (declinación negativa). Esto hace incómoda su lectura y, sobre todo, que en los días en los que el Sol está justo en el ecuador (equinoccio) no se proyecta la sombra sobre el círculo. Esto se soluciona sustituyendo el círculo por una cinta circular sobre la que se proyecta la sombra de la varilla, según la disposición de la fig. 13, con la ventaja adicional de permitir mucha más precisión en el trazado de las marcas.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 13

En Madrid hay un reloj monumental de este tipo junto a la Puerta de Toledo.

Reloj polar

Este reloj se deduce fácilmente del ecuatorial, sustituyendo la cinta circular del reloj anterior por una superficie plana paralela al ecuador, según se aprecia en la fig. 14. Antes, la distancia angular era de 15 grados por hora. Ahora, la distancia desde la línea de las 12 horas será variable. Si la altura de la varilla sobre el cuadro es l, para la hora h la distancia será: l tan(h 15), por lo tanto, las líneas se separarán entre sí cada vez más. Así, la línea de las 5 sería la última a marcar para un reloj de dimensiones prudentes.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 14

Por supuesto que este reloj no podrá marcar las horas anteriores a las 6 de la mañana y posteriores a las 6 de la tarde en los meses de primavera y verano, aunque ya ha salido el Sol, porque éste no ilumina al cuadro del reloj.

Reloj horizontal

Este reloj se comprende fácilmente al observar la fig. 15, en la que se representa un reloj ecuatorial y la proyección de la sombra de la varilla sobre el suelo.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 15

Si se marcaran esas líneas sobre el suelo se dibujaría el reloj horizontal, pues la sombra es común para los dos relojes. Para la hora h, el ángulo de la línea horaria en el reloj ecuatorial era t = h 15 y en el reloj horizontal se puede calcular el ángulo a sobre el suelo.

El segmento DF es común a ambos relojes, por tanto se tiene:

DF = OD tan a = CD tan t,
luego: tan a = tan t sen φ [1]

Este reloj puede indicar también las horas septentrionales de primavera y verano, porque habrá sombra en su cara para todas las horas en las que el Sol está por encima del horizonte.

Reloj vertical no declinante

Este es el caso de un reloj dibujado sobre un muro o pared que está orientada exactamente al Sur, o sea, que es perpendicular a la línea meridiana del lugar. Este tipo de reloj no presenta dificultades y se comprende bien al prolongar la varilla del reloj horizontal hasta que toque en una pared vertical, tal como muestra la fig. 16. Su diseño es semejante al del reloj horizontal con la única diferencia de que ha de tomarse el ángulo 90 - φ en vez de φ, es decir, que el ángulo con la vertical será:

de [1]: tan b = tan t sen(90 - φ)
luego: tan b = tan t cos φ [2]

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 16

Para que este reloj pueda marcar las horas septentrionales, en los meses de primavera y verano, habrá que añadir marcas a la espalda de la pared y una varilla como si fuera la prolongación de la del lado meridional. Su diseño no ofrece dificultades porque esas líneas horarias son la prolongación de otras con igual ángulo horario pero en sentido ascendente. Así, por ejemplo, la línea de las 5 de la mañana es la prolongación de la de las 5 de la tarde.

Antiguamente se utilizó mucho un reloj portátil combinado, conocido como díptico, según muestra la fig. 17. Solía llevar incorporada una pequeña brújula para su orientación.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 17

Reloj vertical declinante

Supongamos ahora que la pared no está orientada mirando exactamente al Sur. El diseño del reloj se complica bastante y los errores pueden ser grandes si no se calcula con precisión la orientación de la pared, es decir, el ángulo que forma con la línea Este-Oeste. Esta desviación d se suele denominar declinación del muro y es de signo positivo si la pared mira hacia el Oeste. No se debe confundir con la declinación del Sol δ.

La fig. 18 muestra una pared declinante como consecuencia del giro, con un ángulo d de declinación.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 18

La línea de las 12 horas es siempre la vertical, cualquiera que sea la orientación de la pared, porque, si éste gira sobre esa vertical, la sombra al mediodía estará siempre sobre ella por ser el propio eje, pero el resto del reloj sufre un giro del haz de las líneas horarias según sea la declinación del muro (fig. 19).

Hasta ahora los relojes han sido todos simétricos con relación a la línea de las 12 horas; pero en este reloj, el eje de simetría se desplaza a una línea llamada subestilar que se la proyección ortogonal del estilo o varilla sobre la pared. Esto significa que cuando el Sol esté justamente perpendicular a la pared, la sombra de la varilla caerá sobre este subestilar.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 19

Si conociéramos el ángulo b que la subestilar forma con la vertical, el problema estaría resuelto porque se reduciría a diseñar un reloj vertical con la línea de las 12 horas sobre ese eje de simetría (que es la subestilar) y después volver a numerar las marcas de forma que la línea de las 12 coincida con la vertical.

Veamos cómo calcular estos ángulos.

Cálculo de la declinación del muro

Para realizarlo interesa un método fiable y que la obtención de los datos sea tan simple que se pueda encargar a una persona que no tenga ninguna experiencia, de forma que ni siquiera fuera preciso haber visto donde se ha de instalar el reloj.

El ángulo de declinación de un muro se puede conocer por la diferencia de tiempos T entre la hora en que el Sol para por la meridiana y de otro instante característico fácilmente reconocible, como es el momento en que el Sol está justamente frente al muro. Esa diferencia será un indicativo fiel de la orientación del muro con relación a la línea Este-Oeste.

Si suponemos una plomada separada del muro, su sombra estará al mediodía sobre la meridiana del lugar, como ya sabemos. Cuando el Sol esté frente al muro, la sombra habrá recorrido un ángulo horario T pero sobre el suelo habrá recorrido un ángulo d que será igual a la declinación del muro.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 20

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 21

El instante en que el Sol está frente al muro se puede observar por la sombra de un indicador que esté en un plano vertical, tal como el saliente de un balcón, el borde una escuadra o el de una carpeta puesta sobre una línea horizontal. En tales casos, cuando la sombra sea vertical podemos asegurar que el Sol está en un plano perpendicular al pie del muro.

La hora de paso del Sol por la meridiana la podemos conocer con la ayuda del círculo indio, ya descrito, bien por medio del Anuario del Observatorio Astronómico o calcularla según se describirá más adelante.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 22

El tiempo T de diferencia (expresada en grados) entre estos dos instantes y el ángulo d de declinación del muro están relacionados en el triángulo esférico NZA de la fig. 22 en función de la declinación del Sol δ de ese día y la latitud del lugar φ, según la ecuación:

tan d = sen T/(sen φ cos T - cos φ tan δ) [3]

Este ángulo d es también el ángulo a de una línea horaria en un reloj horizontal que podemos imaginar en el suelo y que ya sabemos calcular con la fórmula [1]: tan d = tan t sen φ. Pero además, el valor de t corresponde al tiempo que tarda la sombra del estilo en pasar desde la vertical hasta la subestilar, ver fig. 20. Por tanto, la hora de la subestilar se obtendrá de:

tan ts = tan d/sen φ [4]

El ángulo b que la subestilar forma con la vertical, correspondiente a la hora subestilar, se puede calcular por el triángulo esférico de la fig. 23, que es rectángulo en la subestilar, luego:

sen b = sen ts sen(90 - φ) [5]

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 23

Obsérvese que no ha sido necesario materializar la meridiana, con lo cual se evitan muchos trabajos y faltas de precisión. Marcar la dirección Norte-Sur sobre el suelo no es una tarea fácil, a menos que esté bien nivelado y sea muy liso.

De lo anterior se deduce que para el diseño del reloj se debe conocer la hora exacta en que el Sol está frente al muro y también la fecha de la observación para poder conocer la declinación δ.

Trazado del reloj vertical declinante

En este tipo de reloj la colocación de la varilla puede ser una tarea complicada. Pero el estilo es realmente una línea en el espacio que representa al eje del mundo y forma con la vertical y la subestilar un triedro, del cual podemos conocer el ángulo c que forma el estilo con la subestilar:

tan c = tan(90 - φ) cos ts [6]

Por tanto, es posible construir una pieza (área triangular rayada en la fig. 23) que tenga ese ángulo c y se fije sobre la subestilar, normal a la pared, para que nos proporcione un borde que ha de coincidir con el eje del mundo.

Teniendo ya definido el eje de simetría, que es la subestilar y resuelta la fijación del estilo, podemos calcular un reloj cuyo estilo forme un ángulo c con la pared y que la subestilar haga las veces de la línea de las 12 horas.

La línea horaria de la 1 se separará de la subestilar un ángulo de (ts - 15) grados, la de las 2 el de (ts - 2 15) grados (ver fig. 19) y en general, el ángulo para la hora h será:

tan b = tan(ts - h 15) sen c [7]

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El calendario

Hasta ahora solamente nos hemos ocupado del trazado de las líneas horarias, pero un reloj de sol puede proporcionar otros datos, deducidos del movimiento del Sol, tal como el calendario.

Como es bien sabido, el Sol varía su altura sobre el horizonte según los meses del año y como consecuencia de ello, el estilo proyectará su sombra más o menos larga en la cara del reloj, indicando su extremo la época del año.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 24

Las variaciones de la longitud de la sombra según la época del año son debidas a que el Sol se mueve en la eclíptica (plano inclinado 23,44 grados con relación al ecuador), según muestra la fig. 24.

En el solsticio de invierno, 21 de diciembre, el Sol está en su punto más inferior y a partir de esa fecha inicia un ascenso, al principio casi imperceptible (solsticio significa sol parado) hasta llegar al equinoccio de primavera, el 20 de marzo, en que se sitúa en el ecuador. Ese día la declinación será de 0 grados, por lo que los días y noches son iguales (equinoccio significa iguales noches) y el Sol sale exactamente por el Este y se pone por el Oeste. Este punto de intersección de la eclíptica con el ecuador se denomina punto de Aries porque el Sol entra en ese signo del zodíaco.

A partir del 20 de marzo, el Sol sigue ascendiendo hasta alcanzar su máxima altura el 21 de junio (solsticio de verano) en que comienza a descender, pasa por el equinoccio de otoño y se cierra el ciclo.

Hacemos un inciso para aclarar que los signos del zodíaco no coinciden con las constelaciones del mismo nombre. Desde que los griegos les asignaron nombres han pasado 2.500 años y durante ese tiempo el punto de Aries se ha retrasado unos 30 grados debido al fenómeno secular de la precesión de los equinoccios, por tanto, el Sol está en esa fecha entrando en la constelación de Piscis. En Astronomía se han mantenido por razones de comodidad las fechas de los signos, separados ya de tales constelaciones.

Esta evolución anual del Sol puede quedar reflejada en la cara del reloj. La línea que sigue el extremo de la sombra a lo largo del día se llama línea de declinación diaria porque representa la declinación del Sol durante ese día. El trazado de estas líneas para algunos días del año, como por ejemplo los días de comienzo de un signo del zodíaco, conforma un verdadero calendario donde podemos leer las estaciones o los meses del año.

Estas líneas son hipérbolas como puede verse en la figura, pues se producen por la intersección del plano del reloj con el doble cono que describen los rayos de sol durante los días del año al pasar por su vértice, que es el extremo del estilo. En los días de los equinoccios esa línea es una recta porque el Sol está en el mismo plano que el extremo de la varilla. En la figura puede verse estas líneas en un reloj vertical.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 25

La longitud de la sombra en un reloj horizontal se puede calcular basándose en la fig. 26, semejante a la fig. 15, en la que se ve que el ángulo α para una hora dada h será:

tan α = CF/l, y como CD = CF cos h = l tan φ se tiene:
tan α = tan φ/cos (h 15) [8]

para esa hora h en cualquier día del año, entre ellos los días del equinoccio (δ = 0).

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 26

Cuando la declinación del Sol cambia, la sombra variará pero conservando el ángulo α.

En el triángulo OCG se tiene:

s/sen C = l/sen G
s/sen(90 - δ) = l/sen(180 - 90 + δ - α), luego:
s = l cos α/cos(α - δ) [9]

Lo cual nos permite calcular la posición del extremo de la sombra sobre una línea horaria.

Para un reloj vertical el cálculo sería semejante, según ya sabemos, sustituyendo el valor de φ por el del (90 - φ) si no es declinante, y si es declinante por el del ángulo c, que ya vimos cómo se calcula.

A continuación se relaciona la declinación del Sol para los días del comienzo de cada signo del zodíaco:

0,00º Aries (20 marzo) Primavera, equinoccio
11,48º Tauro (20 abril) idem.
20,15º Geminis (21 mayo) idem.
23,44º Cancer (21 junio) Verano, solsticio
20,15º Leo (23 julio) idem.
11,48º Virgo (23 agosto) idem.
0,00º Libra (23 septiembre) Otoño, equinoccio
-11,48º Escorpio (23 octubre) idem.
-20,15º Sagitario (22 noviembre) idem.
-23,44º Capricornio (22 diciembre) Invierno, solsticio
-20,15º Acuario (20 enero) idem.
-11,48º Piscis (18 febrero) idem.

El valor aproximado de δ para cualquier día N del año puede obtenerse con la expresión:

δ = 23,44 sen 0,97(N - 81,5) [10]

Un caso especial de calendario lo constituye la meridiana, ya aludida al principio. Es un reloj horizontal que tiene solamente la línea de las 12 horas sobre la cual están marcados los signos del zodíaco o los meses del año.

Relojes de hora media

La hora de nuestros relojes de pulsera indican la hora de un día uniforme a lo largo de todo el año, a diferencia del día solar que tiene adelantos y retrasos, aunque esto nos pueda sorprender.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 27

Esta diferencia es debida a dos causas: Por una parte, la Tierra al girar alrededor del Sol lleva una velocidad que no es uniforme, debido a que al estar el Sol en uno de los focos de una elipse, que es la eclíptica, la velocidad de giro de la Tierra es más rápido cuando está más cerca de ese foco, de acuerdo con la 2ª ley de Kepler (de las áreas barridas), fig. 27. Por otra parte, el Sol se desplaza por la eclíptica que está inclinada 23,44º con relación al ecuador, por tanto, las proyecciones sobre él no son constantes, fig. 24.

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 28

Estos adelantos y retrasos se expresan por la ecuación del tiempo y se representan mediante la curva de la fig. 28. Si se pliega por la fecha del 21 de junio produce una curva "en 8" llamada lemniscata [analema], que puede dibujarse en el reloj.

Para mayor precisión ver Analema 3, pag. 3 [Hora oficial, legal, solar, canónica, etc. en esta web].

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 29

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 30

Si en vez de trazar las rectas de las líneas horarias dibujáramos estas curvas, tendríamos un reloj de horas medias leyendo la hora por el extremo de la sombra en el punto correspondiente al día del año, pero su trazado es muy laborioso.

Otra forma de hacer consiste en dibujar en una de las horas, esta curva lemniscata. Así se estima el adelanto o retraso de ese día, tal es el caso del reloj completo de la fig. 29, en el que aparecen las líneas horarias, las líneas de declinación diaria y la lemniscata de la ecuación de tiempo.

Hora oficial

Si deseamos deducir la hora de nuestro reloj de pulsera no podemos olvidar que la hora solar en Castellón de la Plana, que está en el meridiano 0, no es igual a la de Madrid, por ejemplo. El sol tarda 14 min 45 s (a razón de 1 hora por cada 15º) en pasar de un meridiano a otro y habrá que tenerlo en cuenta. Por esa razón la lemniscata debe estar dibujada unos 15 minutos antes de la línea de las 12 horas si queremos indicar el instante en que el Sol pasa por el meridiano 0, según la fig. 29.

Con esta disposición se tienen todos los datos para deducir la hora oficial con la ayuda del reloj de sol, teniendo en cuenta que España peninsular tiene su hora oficial adelantada 1 hora (2 en verano) sobre el tiempo universal.

La regla mnemotécnica para para deducir la hora oficial puede ser ésta: cuando el extremo de la sombra toca en la lemniscata en la fecha del día, será la 1 del mediodía (en invierno).

De lo anterior se deduce que la hora oficial del paso del Sol por la meridiana será:

12 h - ecuación de tiempo [EdT] +- diferencia de longitud(hora/15º) + 1 h (en invierno)

Leyendas

Es muy frecuente y típico que en el cuadro del reloj figure alguna frase, muchas veces en latín, sobre la luz, el Sol, Dios, la vanidad de las cosas, la fugacidad de la vida, etc. Otras son alegres, humorísticas o alusiones a la casa en que está.

Hoy día, la forma más cómoda de diseño es utilizar un programa informático de los ya desarrollados que proporcionan todos los valores (o bien calcularlo según lo explicado antes) que permite dibujar el reloj sobre papel milimetrado a tamaño real. Completado el diseño, se perfora en los puntos significativos del dibujo por medio de un sacabocados. Aplicado el papel sobre la superficie donde se ha de trazar el reloj, se hacen marcas de los puntos significativos usando los orificios (técnica del estarcido). Retirado el papel, quedarán una serie de marcas que permitirán completar el dibujo del reloj.

Ejemplo de un reloj horizontal (fig. 31)

Latitud φ = 40º N; Longitud λ = 6º O; l = 100 mm
Estilo recto (en A) = l sen φ = 64,3 mm
Subestilar (AB) = l cos φ = 76,6 mm

A - Coordenadas x-y de las líneas horarias

Como el reloj es simétrico con relación a las 12 horas, sólo se calcularán las horas de la tarde.

Utilizando la ecuación [2] se obtiene el valor del ángulo a para cada línea horaria. Para tener las coordenadas de un punto de esas líneas se hace fijo el valor de y, (1,5 l), luego x será: 150 tan a.

Los valores para las primeras líneas horarias son:

12 h: x = 0,0; y = 150 --- 12:30 h: x = 12,7; y = 150
1 h: x = 28,5; y = 150 --- 1:30 h: x = 39,9; y = 150

Se marcado en la figura los valores de la 1 h. Cuando x es mayor que 150 se hace x = 150.

4 h: x = 150; y = 134,7 --- 4:30 h: x = 150; y = 96,7

B - Distancia de las hipérbolas al vértice

Se calcula, para cada media hora, el valor de α con la fórmula [8], y la longitud de la sombra sobre las líneas horarias desde el polo B, con la fórmula [9], Por ejemplo:

Capricornio: 12 h 205,2 --- 12:30 h: 207,0; ...

Iniciación al diseño de relojes de sol figura 31

C - Cálculo de los puntos de la lemniscata

Retardo fijo (1 h cada 15º = 4 min por grado) = 24 min.

Se calcularán las coordenadas de las fracciones de hora equivalentes a: la suma del retardo fijo más el valor de la ecuación de tiempo, para los días del comienzo de cada signo del zodíaco.

Por ejemplo, para el 21 de noviembre: x = -5,2; y = 188,8, según se marca en la figura.

Ejemplo de un reloj vertical declinante

Para el mismo lugar y longitud del estilo.

Sabemos que el día 16 de septiembre, el sol estaba justamente frente a la pared a las 2:50 h de la hora oficial del verano, es decir a las 12:50 h, hora de tiempo universal (TU).

A - Cálculo de la declinación del muro

En primer lugar, es necesario calcular la hora del paso del Sol por la meridiana, que será: 24 min más la ecuación de tiempo (- 5 min), es decir: 24 - 5 = 19 min después de las 12. La declinación del Sol ese día, según la fórmula [10], es de 2,8º. Aplicando la fórmula [3], se obtiene la declinación de la pared, d = 12,6º hacia el Oeste.

B - Valores de la subestilar

Según la expresión [4], la hora de la subestilar es ts = 76,9 min. Aplicando la fórmula [5] se obtiene el valor angular b de la subestilar, que haciendo y = 150, la abcisa será: x = 39,1. El valor de c según la fórmula [6] será de 48,37º.

Tomando este valor de c como el ángulo que el estilo forma con el muro y conocido el valor ts de la subestilar, se harán los demás cálculos como si se tratara de un reloj horizontal. Los ángulos b con relación a la vertical (línea de las 12) se calcularán con la fórmula [7], que ya tiene en cuenta la posición del eje de simetría.

El reloj presentará un aspecto muy semejante al de la fig. 29.

Prof. Jesús de la Calle

 

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